Решите неравенство 
Решение. Выражение 
определено для любых x. Так как 
(причем, знак равенства имеет место только при 
), то
При 
определен только на 
т. е. 
определен при 
Таким образом, достаточно решить неравенство
где
Пусть 
Так как 
то 
Поскольку 
неравенство (1) принимает вид 
или, так как 
Найдем корни многочлена в левой части (3). Один из них легко замечается и равен 1. Применим схему Горнера или разделим в столбик на (x − 1)
Это и есть решение неравенства (3), откуда получаем, что неравенство (1) равносильно следующему
Из неравенства (4) легко следует, что
Неравенство 
выполняется, как мы видели выше, при 
Решим неравенство 
Так как 
то в итоге мы получаем 
Ответ: 
Замечания.
1) Множество значений функции (2) можно определить также с помощью производной. С другой стороны, можно рассмотреть уравнение с параметром 
и определить, при каких значений a оно имеет единственное решение. (Получим наибольшее и наименьшее значения функции 
)
2) Другой способ решения неравенства (1) заключается в следующем.
Поскольку при 
получаем, используя основное тригонометрическое тождество
(превращая тем самым левую часть в однородную тригонометрическую функцию третьей степени!),
Разделив обе части неравенства на 
и положив 
получим неравенство (3).
3) При решении неравенства (1) можно использовать производную. При 
поэтому неравенство (1) не выполняется. Рассмотрим на 
функцию 
Нетрудно показать, что 
поэтому g(u) — монотонно возрастающая функция. Так как 
то 
на 
и мы получаем решение (5).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |