PDF-версии: 
Найдите пару комплексных чисел z1, z2 для которых одновременно выполняются соотношения 
и 
Решение. I способ. Пусть 
где a, b, c, d — действительные числа. Тогда 
и
Поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части, отсюда следует
Решим систему уравнений, состоящую из третьего и четвертого уравнений.
Отсюда 
Ответ: 
II способ. Если комплексное число 
(где x и y — действительные числа), то, как известно, сопряженным к нему называется число x − iy, для которого имеется стандартное обозначение 
(т. е. 
). Операция нахождения сопряженного числа или алгебраического выражения, сопряженного данному, называется операцией сопряжения. Справедливы следующие соотношения:
если 
то 
если 
то 
а) Применим к обеим частям первого исходного уравнения операцию сопряжения
Таким образом, получаем систему уравнений
Найдем отсюда число z1. Для этого умножим обе части уравнения (1) на число 3i и сложим соответствующие чести уравнений:
б) Рассмотрим систему уравнений
в которой уравнение (4) получено применением операции сопряжения к обеим частям второго исходного уравнения. Найдем из системы уравнений (3), (4) число z2. Для этого вычтем из обеих частей уравнения (3) соответствующие части уравнения (4):
Ответ:
III способ. После того, как мы нашли z1 из системы (1), (2) (II способ), совсем необязательно выписывать системы уравнений (3), (4). А именно, найдем теперь 
из системы (1), (2). Для этого вычтем из обеих частей уравнения (1) соответствующие части уравнения (2):
Отсюда 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |