PDF-версии: 
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
Решение. Запишем выражение для функции в более удобном виде, воспользовавшись чётностью функции косинуса: 
Найдем производную функции: 
Выражение для производной можно упростить с помощью формул двойного аргумента и приведения:
Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в нуль:
Из этих серий решений отрезку 
принадлежат только 
Действительно, длина рассматриваемого отрезка меньше 
т. е. меньше разности каждой из трёх арифметических прогрессий, являющихся сериями решений уравнения 
Поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждой серии. Поскольку функция 
монотонно возрастает на множестве своего определения 
и 
(так как 
то 
т. е. 
), то
т. е. 
На рассматриваемом отрезке применим метод интервалов к функции 
(см. рис.). Сомножитель 
меняет свой знак в точках 
и 
а сомножитель 
— только в точке 
т. е. на конце отрезка. Далее
т. к. 
Знаки производной расставляются так, как показано на рисунке, в силу того, что числа и 
принадлежат рассматриваемому отрезку. По рисунку видно, что в точке функция y имеет локальный минимум, а в точке — локальный максимум. Отсюда следует, что наименьшее значение на отрезке функция y принимает либо в точке 
либо в точке 
(на правом конце отрезка), а наибольшее значение — в одной из двух точек 
(левый конец отрезка) и 
Сравним значения 
и 
Очевидно, что 
и 
поэтому
и, следовательно, 
Далее, 
Зная, что 
можем написать
Понятно, что
Теперь очевидно, что
откуда
или 
Таким образом, наименьшее значение функции 
на рассматриваемом отрезке достигается в точке 
и равно
Сравним теперь значения 
и 
Так как 
а 
то
Далее 
Следовательно,
Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке достигается в точке и равно 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |