PDF-версии: 
Сколько различных корней имеет уравнение 
Решение. Исходной уравнение равносильно следующей совокупности:
Отметим, что не будет ошибочным знак "⩾" в неравенстве (2), однако при этом могут возникнуть некоторые трудности с повторяющимися корнями.
Уравнение (1) имеет два корня. Решение неравенства (2):
Рассмотрим уравнение (3):
Найдем множество решений уравнения (6): 
Если k — нечетное, 
то
т. е. соответствующие решения уравнения (6) являются также решениями уравнения (5).
Если же k четно, 
то 
Таким образом, все различные решения совокупности (5), (6), — это числа 
(7), а также решения уравнения (5):
Выясним, сколько решений вида (7) содержится в интервале (4):
т. е. двадцать решений. Аналогично для решений (8):
т. е. 105 различных решений. Таким образом, общее количество решений исходного уравнения 2 + 20 + 105 = 127.
Ответ: 127.
Замечание. Более рациональный метод нахождения непересекающихся серий решений уравнения 
сводится к следующему. Запишем второй множитель иначе:
Для решений уравнения (9) 
т. е. множества решений (9) и (11) не пересекаются. Для решений уравнения (10) 
т. е. корни уравнения (10) содержатся среди корней уравнения (11). Таким образом, совокупность (9) − (11) равносильна совокупности двух уравнений (9), (11), причем множества их решений не пересекаются.
Замечание. В большинстве случаев учащиеся могли решать исходное уравнение, непосредственно находя корни уравнений (5), (6) отсекая затем каким-либо методом (аналитически или графически) повторяющиеся решения. Такой способ является более громоздким и поэтому чреват ошибками.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |