Исследуйте функцию 
на монотонность.
Решение. Продифференцируем заданную функцию на ℝ:
Для определения интервалов возрастания (убывания) достаточно решить неравенство 
В нашем случае это неравенство выглядит так: 
Сделаем замену 
и заметим, что 
Имеем: 
или, заметив, что t = 1 — корень уравнения 
то 
Поскольку при положительных t выполняется неравенство 
то неравенство 
выполняется при 
т. е. при 
откуда 
Очевидно, что при 
производная отрицательна.
Таким образом, функция y убывает при и возрастает при Поскольку данная функция непрерывна в точке 0, то эту точку следует включить в промежутки монотонности.
Ответ: при 
функция убывает, при 
функция возрастает.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
функция убывает, при функция возрастает. функция убывает, при функция возрастает.