PDF-версии: 
Конус описан около данного полушара так, что центр основания конуса лежит в центре полушара, а образующие конуса касаются сферы полушара. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, при котором объём конуса будет наименьшим.
Решение. Можно считать, что радиус шара равен 1 (при гомотетии все отношения объемов сохранятся, как и углы). Пусть, далее, h > 1 — высота конуса, r > 1 — его радиус основания, тогда его объем равен
Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем будет равнобедренный треугольник ASB, в который вписана полуокружность радиуса 1. Достроим симметричный треугольник AS1B, тогда ASBS1 — ромб с вписанной окружностью радиуса 1, центр которой O — точка пересечения диагоналей ромба.
С другой стороны, радиус вписанной окружности можно посчитать по формуле 
откуда
и объем конуса равен
Нам нужно найти наименьшее значение этой функции. Возьмем ее производную:
Ясно, что при 
это выражение отрицательно (и функция 
убывает), а при 
это выражение положительно (и функция возрастает). Поэтому наименьшее значение функция принимает при 
и, соответственно, 
Найдем теперь угол между образующей и высотой:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |