Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R.
Решение. Обозначим ребро основания пирамиды за x, тогда сечение сферы плоскостью основания - описанная окружность правильного треугольника со стороной x, поэтому ее радиус равен
Проведем диаметр сферы, перпендикулярный этой плоскости. Один из его концов — вершина пирамиды. Ясно, что больший объем получится, если выбирать более далекий от плоскости конец.
Пусть O — центр сферы, O1 — центр окружности, описанной около основания ABС. Тогда в прямоугольном треугольнике OO1C имеем
поэтому высота пирамиды равна 
а ее объем равен
Осталось найти наибольшее значение этой функции. Возьмем производную. Множитель 
не влияет на точку, где принимается наибольшее значение, его писать не будем. Получаем:
Найдем корни производной на отрезке 
Значит, наибольшее значение эта функция принимает при x = 0, 
или 
Подставим их: 
Поскольку 
наибольшее значение равно 
Ответ:
Приведём другое решение.
Пусть S — вершина пирамиды, ABC — ее основание, O — центр сферы, O1 — центр правильного треугольника ABC. Ясно, что S лежит на прямой OO1, причем так, что O лежит между O1 и S (если это не так, заменим S на второй конец этого же диаметра, высота пирамиды увеличится, значит, и объем тоже). Обозначим 
тогда 
— высота пирамиды. Тогда из прямоугольного треугольника OO1C имеем
Cечение сферы плоскостью основания — описанная окружность правильного треугольника и поскольку ее радиус равен 
то сторона треугольника равна
Тогда объем пирамиды равен
Найдем теперь наибольшее значение функции 
Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
Значит, сама функция (а с ней и объем) убывает при и возрастает при 
а наибольшее значение принимает в точке 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |