Даны функции 
и 
а) Решите неравенство f(x) + g(x) > 0.
б) Найдите все значения x такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами.
в) Найдите все положительные числа d такие, что уравнение f(x) − g(x) = d не имеет решения.
г) Пусть xn — такое число, что 
где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что 
Решение. Преобразуем сначала выражение для функции 
при 
а) Обозначим 
тогда неравенство примет вид
C помощью метода интервалов получим 
Очевидно при 
имеем 
и 
поэтому
такие x не подходят. При 
имеем 
поэтому
Значит случай 
не реализуется ни при каком x. Осталось решить неравенство 
Учитывая, что 
оно сводится к
Учитывая ограничение окончательно получаем 
б) Пусть тогда
значит, 1 делится на 
поэтому 
т. е. 
или 
При таких t выражение 
получается целым. Осталось найти подходящие x. Если 
то
Но такое x не входит в ОДЗ функции. Если 
то
В ОДЗ функции входит только 
в) Обозначим 
и запишем уравнение в виде
при условии 
впрочем, нетрудно проверить, что 
не является корнем этого уравнения ни при каком d. Дискриминант этого уравнения равен 
поэтому при 
у уравнения нет корней.
При 
у этого уравнения есть корни, причем они положительны (у них и сумма и произведение равны 
), значит, больший из них не меньше чем 
Докажем теперь, что функция 
принимает все значения, не меньшие двух — это будет означать, что уравнение 
(где 
—
) имеет решение, поэтому исходное уравнение 
тоже имеет корни.
Заметим, что 
поэтому 
а кроме того
Итак, эта функция, непрерывная при 
принимает значения, меньшие 2 и значения, сколь угодно большие. Значит, она принимает все значения из промежутка 
Итого: 
г) Увидим xn — это решение уравнения 
Нарисовав графики функций y = x и 
видим, что достаточно доказать, что
Заметим теперь, что 
если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому 
Заметим также, что, поскольку 
при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то 
при данных n. Имеем:
Ответ: 
