PDF-версии: 
Дана система 
а) Решите систему при 
б) Решите систему при 
в) Найдите наибольшее значение площади четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 3, 1, 3 и 4.
г) Изобразите на плоскости множество всех точек 
таких что данная система имеет решение.
Решение. а) Уравнения можно записать в виде 
и 
Возводя уравнения в квадрат и складывая их, получим
то есть 
что невозможно.
б) Уравнения можно записать в виде 
Возводя их в квадрат и складывая, получим:
Возведем уравнение в квадрат, при условии 
(поскольку 
):
Значит, либо 
откуда 
и тогда из уравнения 
находим 
при 
Либо можно сократить уравнение на 
получим
Тогда
И из уравнений изначальной системы получаем
В таком случае ответы получаются такими 
и 
где 
и 
и 
где 
Если про угол известны и синус и косинус, то угол определяется однозначно с точностью до прибавления кратного 
Мы выбрали точки в подходящих четвертях, чтобы знаки сошлись. Например у 
был бы положительный синус, что нас не устраивает.
в) Рассмотрим четырехугольник ABCD, BC = 1, AD = 4, AB = CD = 3. Пусть, далее, AC = 2x. По неравенству треугольника получим 
и 
или 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, решим:
Обозначим 
и рассмотрим функцию
Нам нужно найти наибольшее значение этого выражения на отрезке [1; 4] (мы формально включим сюда концы отрезка, хотя в них вряд ли будет наибольшее значение. Просто привычнее искать его на замкнутом промежутке. Исследовать знак производной нам здесь не удастся). Возьмем производную и приравняем ее к нулю (неопределенна она только в концах отрезка):
Решим уравнение:
Первый корень посторонний, для него в уравнении
левая часть положительна, а правая отрицательна,
Поэтому самое большое значение площади равно 
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
г) Начнём решать данную систему так же, как мы решали ее в п. б. Запишем уравнения в виде 
и 
возведем в квадрат и сложим. Получим уравнение 
причем если это уравнение имеет решение, то соответствующее y можно будет подобрать, поскольку выражения 
и 
будут не больше 1 по модулю, а сумма их квадратов будет равна единице. Раскрывая скобки, получим:
Обозначим 
тогда
При 
решений нет (это, кстати, пункт а). Выберем 
так, чтобы 
и 
(это возможно, поскольку 
), тогда
Значит, для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы 
Поскольку 
данное выражение положительно всегда
Значит, такие точки заполняют кольцо с внешним радиусом 5 и внутренним 3 и центром в начале координат.
Ответ:
а) решений нет;
б) 
в) 
г) множество, заданное неравенствами 
(кольцо).
а) решений нет;
б)
в)
г) множество, заданное неравенствами (кольцо).
а) решений нет;
б)
в)
г) множество, заданное неравенствами (кольцо).