PDF-версии: 
Дана функция 
а) При каком a прямая 
касается графика функции f?
б) Докажите, что 
в) Пусть 
Сколько решений (в зависимости от b) имеет уравнение 
г) Пусть 
и 
Докажите, что 
Решение. а) Допустим, что при некотором x происходит касание. Тогда в точке касания производная 
должна быть равна угловому коэффициенту прямой, то есть 
Получаем
Откуда 
и 
(второе условие выражает тот факт, то у прямой и графика точка касания является общей). Из первого уравнения 
тогда из второго 
то есть 
поэтому 
и 
Итого, при 
абсцисса точки касания
б) Преобразуем исходное выражение:
поскольку 
Докажем это. Исследуем функцию 
определенную при 
Поскольку
что положительно при 
и отрицательно при 
функция 
возрастает на (−1; 0] и убывает на 
Значит,
что и требовалось доказать.
в) Запишем уравнение в виде 
что равносильно 
Обозначим 
и 
тогда каждому x соответствует ровно одно значение Поэтому достаточно изучить число положительных корней уравнения 
где 
тогда 
Рассмотрим функцию 
и возьмем ее производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
поэтому 
убывает на 
и возрастает на 
При этом
и 
Значит, функция принимает один раз значение 
и два раза — все большие него значения. Вспоминая о том, что 
получаем ответ — при 
одно решение, при 
два решения, нет решений при 
г) Преобразуем исходное выражение:
Подынтегральная функция положительна, поскольку 
Но кроме того, как уже было доказано в пункте а), при положительных t выполнено неравенство 
поэтому
Неравенство доказано.
Ответ: а) 
в) 
два — при 
не имеет решений при
в) два — при не имеет решений при в) два — при не имеет решений при