Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим де­ре­во воз­мож­ных пе­ре­хо­дов из со­сто­я­ния в со­сто­я­ние в те­че­ние пер­вых трех се­кунд (см. рис.). По­сколь­ку все воз­мож­ные из вось­ми ва­ри­ан­тов пе­ре­хо­дов рав­но­ве­ро­ят­ны, то ответ сле­ду­ет из того, что в ниж­ней строч­ке со­сто­я­ние a встре­ча­ет­ся два раза, а каж­дое из со­сто­я­ний b и c  — по три.

б)  Если k  — это число раз, ко­то­рое со­сто­я­ние x встре­ча­ет­ся в ниж­ней строч­ке де­ре­ва воз­мож­ных пе­ре­хо­дов за n се­кунд, то

в)  По­ло­жим для крат­ко­сти за­пи­си Тогда Дей­стви­тель­но, на n-й се­кун­де устрой­ство будет на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии x тогда и толь­ко тогда, когда на преды­ду­щей се­кун­де оно на­хо­ди­лось в одном из двух дру­гих со­сто­я­ний (ве­ро­ят­ность чего равна ) из ко­то­рых оно и пе­ре­шло в x (с ве­ро­ят­но­стью ). Оста­лось за­ме­тить, что

по­это­му при

За­ме­ча­ние. Не­труд­но до­ка­зать явную фор­му­лу для ве­ро­ят­но­стей Имен­но

г)  Утвер­жде­ние будет сле­до­вать, к при­ме­ру, из фор­му­лы

и ее ана­ло­гов для ве­ро­ят­но­стей и До­ка­жем при­ве­ден­ную фор­му­лу (до­ка­за­тель­ство двух дру­гих ана­ло­гич­но).

При­пи­шем пе­ре­хо­дам число а пе­ре­хо­дам в об­рат­ном на­прав­ле­нии  —   — число −1. Таким об­ра­зом, по­сле­до­ва­тель­ность пе­ре­хо­дов за n се­кунд ко­ди­ру­ет­ся по­сле­до­ва­тель­но­стью длины n. Пред­по­ло­жим, что в не­ко­то­рой такой по­сле­до­ва­тель­но­сти встре­ча­ют­ся k штук Не­труд­но по­нять, что по­след­нее со­сто­я­ние сов­па­да­ет с пер­вым тогда и толь­ко тогда, когда (mod 3), от­сю­да (mod 3) или (mod 3). Оста­лось за­ме­тить, что ве­ро­ят­ность каж­дой из по­сле­до­ва­тель­но­стей равна а число по­сле­до­ва­тель­но­стей, в ко­то­рых встре­ча­ет­ся k раз, равно

Ответ: а) б) нет.