РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

3Б. Рассматриваются последовательности $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка _n=0 в степени б есконечность ,$ для которых $x_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 минус x_n минус 1,$ $n\geqslant1.$

а)  Пусть $x_0= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Вычислите $x_2000.$

б)  Докажите, что если $x_0 меньше 1,$ то последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ монотонна.

в)  Найдите множество $\Cal C_0$ всех чисел, которые не могут являться начальными членами $x_0$ таких (бесконечных) последовательностей.

г)  Найдите множество начальных членов $x_0$ монотонных последовательностей $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка .$

Решение. а)  Составим $x_2000= дробь: числитель: 2001, знаменатель: 2002 конец дроби .$ Общую формулу $x_n= дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n плюс 2 конец дроби$ легко доказать по индукции.

б)  Заметим прежде всего, что если $x_k меньше 1,$ то $2 минус x_k больше 1,$ поэтому

$x_k плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 минус x_k меньше 1.$

Следовательно, если $x_0 меньше 1,$ то $x_n меньше 1$ при всех $n принадлежит \Bbb N.$ Отсюда следует, что неравенство $x_n плюс 1 больше x_n$ равносильно неравенству $x_n левая круглая скобка 2 минус x_n правая круглая скобка больше 1,$ которое очевидно верно, так как

$x_n в квадрате минус 2x_n плюс 1= левая круглая скобка x_n минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0.$

в)  Число a не является начальным членом $x_0$ данной последовательности, если при вычислении по заданной формуле получаем, что $x_n=2$ при некотором $n принадлежит \Bbb N;$ тогда $x_n плюс 1$ не существует! Чтобы найти все такие значения начальных членов, перепишем рекуррентное соотношение в виде

$x_n минус 1= дробь: числитель: 2x_n минус 1, знаменатель: x_n конец дроби$

и, для удобства, занумеруем последовательность в обратном направлении, начиная от $y_0=2,$ положив

$y_n плюс 1= дробь: числитель: 2y_n минус 1, знаменатель: y_n конец дроби .$

Теперь нетрудно увидеть, а затем доказать по индукции формулу $y_n= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n плюс 1 конец дроби .$

г)  Если $x_0=1,$ то последовательность стационарна; $x_n=1,$ $n принадлежит \Bbb N.$ В пункте б) доказано, что при $x_0 меньше 1$ мы также получаем монотонную последовательность. Если $x_0 больше 2,$ то $x_1 меньше 0 меньше x_2,$ поэтому последовательность не монотонна. Итак, пусть $1 меньше x_0 меньше 2,$ причем $x_0\not принадлежит \Cal C_0.$ Нетрудно доказать, что если

$дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n конец дроби меньше x_0 меньше дробь: числитель: n, знаменатель: n минус 1 конец дроби ,$

то $x_n минус 1 больше 2,$ так что $x_n меньше 0,$ таким образом мы снова получаем не монотонную последовательность.

Ответ: а) $дробь: числитель: 2001, знаменатель: 2002 конец дроби ;$ в) $\Cal C_0= левая фигурная скобка дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n конец дроби : n принадлежит \Bbb N правая фигурная скобка ;$ г) $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка .$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2128	а) $дробь: числитель: 2001, знаменатель: 2002 конец дроби ;$ в) $\Cal C_0= левая фигурная скобка дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n конец дроби : n принадлежит \Bbb N правая фигурная скобка ;$ г) $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка .$

Ключ