i
3А. Пусть 
В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.
а) Пусть 
Верно ли, что при всех 
корни многочлена 
лежат на единичной окружности?
б) Пусть 
и 
Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена 
в) Пусть zk, 
г) Пусть m — наибольшее значение 
при 
Докажите, что 
при всех 
многочлена 
так 
и положим 
Тогда 
т. е. 
— произвольных точек единичного круга — ближайшей к точке 4 является точка 1.
Тогда 
Далее, так как 
и 
то 
Следовательно, 
не лежит на единичной окружности, в частности, 
Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее 
) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства 
С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, 
так что 
в частности, 
Отсюда следует, что 
— противоречие.