РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

№ 2116

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1

? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения

Сложность: 11 из 10

Санкт-петербургские выпускные экзамены. Профильно-элитарные варианты. 2. Тригонометрия

Дана функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус в кубе x плюс a косинус в квадрате x синус x плюс b косинус x синус в квадрате x плюс синус в кубе x.$

а)  Найдите a и b, если известно, что числа $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ являются корнями функции f.

б)  Пусть $a=b= минус 1.$ Решите неравенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка \leqslant0.$

в)  Пусть $b= минус 3.$ Решите уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус 3x.$

г)  Найдите все пары $левая круглая скобка a,b правая круглая скобка ,$ при которых период функции f равен $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Решение. а)  Подставив $x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4,$ получим уравнение $a плюс b плюс 2=0,$ подставив $x= минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4$   — уравнение $a минус b.$ Решая систему полученных уравнений, находим  — $a=b= минус 1.$

б)  Рассматривается неравенство:

$косинус в кубе x минус косинус в квадрате x синус x минус косинус x синус в квадрате x плюс синус в кубе x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус$

$минус синус x левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Ясно, что оно выполняется, только если $косинус x= синус x$ или $косинус x плюс синус x меньше или равно 0.$ Решая это уравнение и неравенство, находим ответ.

в)  Учитывая, что $косинус 3x= косинус в кубе x минус 3 косинус x синус в квадрате x,$ получаем уравнение:

$косинус в кубе x плюс a косинус в квадрате x синус x минус 3 косинус x синус в квадрате x плюс синус в кубе x= косинус 3x равносильно$
$равносильно a косинус в квадрате x синус x плюс sin в кубе x=0 равносильно$

$равносильно синус x левая круглая скобка a косинус в квадрате x плюс 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =0$

Уравнение $косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 1 минус a$ имеет решение лишь при $a меньше или равно 0.$ Теперь ясен ответ.

г)  Легко заметить, что если $b= минус 3,$ то $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус 2x минус синус 3x$   — функция периода $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Покажем, что других подходящих пар $левая круглая скобка a;b правая круглая скобка$ нет. В самом деле, если функция f периодична с периодом $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ то должны выполняться равенства $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $f левая круглая скобка Пи правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$ Подставляя соответствующие значения, получаем систему:

$система выражений дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка b плюс 3 правая круглая скобка =0, дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка b плюс 3 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно ... равносильно a=b= минус 3.$ $система выражений дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка b плюс 3 правая круглая скобка =0, дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби левая круглая скобка b плюс 3 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно$
$равносильно ... равносильно a=b= минус 3.$

Ответ: а) $a=b= минус 1;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k;$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка k принадлежит Z ;$ в) $Пи k$ при $a больше или равно 0;$ $\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 1 минус a конец аргумента плюс Пи k$ при $a меньше 0,k принадлежит Z ;$ г) $a=b= минус 3.$

2116

а) $a=b= минус 1;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k;$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка k принадлежит Z ;$ в) $Пи k$ при $a больше или равно 0;$ $\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 1 минус a конец аргумента плюс Пи k$ при $a меньше 0,k принадлежит Z ;$ г) $a=b= минус 3.$

Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1

Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения

Сложность: 11 из 10

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2116	а) $a=b= минус 1;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k;$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка k принадлежит Z ;$ в) $Пи k$ при $a больше или равно 0;$ $\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 1 минус a конец аргумента плюс Пи k$ при $a меньше 0,k принадлежит Z ;$ г) $a=b= минус 3.$