Ре­ше­ние. а)  Каж­дая пара про­ти­во­по­лож­ных гра­ней может быть од­но­цвет­ной или раз­но­цвет­ной  — из че­ты­рех ва­ри­ан­тов рас­крас­ки ровно два раз­но­цвет­ных и два од­но­цвет­ных. Зна­чит, ве­ро­ят­ность для одной пары гра­ней равна а для всех трех пар будет

б)  Если у куба число белых гра­ней равно 0, 1, 5, 6, то такая рас­крас­ка всего одна для каж­до­го ко­ли­че­ства гра­ней.

Если белых гра­ней две или че­ты­ре (то есть чер­ных гра­ней две), то есть две такие рас­крас­ки  — грани того цвета, ко­то­ро­го мень­ше, могут быть со­сед­ни­ми или нет.

На­ко­нец, если белых гра­ней три, то либо есть пара про­ти­во­по­лож­ных белых гра­ней (тогда уже не­важ­но, где тре­тья белая грань  — все такие рас­крас­ки оди­на­ко­вы), либо такой пары нет (тогда най­дет­ся вер­ши­на, к ко­то­рой при­мы­ка­ют все три белых грани и такая рас­крас­ка тоже одна)  — итого таких рас­кра­сок тоже две. Всего

ва­ри­ан­тов.

в)  Вто­рой может каж­дым ходом кра­сить грань, про­ти­во­по­лож­ную к толь­ко что по­кра­шен­ной пер­вым, в про­ти­во­по­лож­ный цвет. В итоге все ку­би­ки будут окра­ше­ны оди­на­ко­во (по­след­ней рас­крас­кой, опи­сан­ной в пунк­те б).

г)  За­фик­си­ру­ем по­ло­же­ние куба в про­стран­стве. Те­перь есть 64 рав­но­ве­ро­ят­ных его рас­крас­ки, ко­то­рые груп­пи­ру­ют­ся в 10 групп рас­кра­сок, ко­то­рые счи­та­ют­ся оди­на­ко­вы­ми. Вы­чис­лим число рас­кра­сок в каж­дой груп­пе.

Есть по одной рас­крас­ке, где все кубы чер­ные или все белые.

Можно 6 спо­со­ба­ми вы­брать одну грань для по­крас­ки в белый цвет, а осталь­ные по­кра­сить в чер­ный - по­лу­чит­ся 6 ва­ри­ан­тов с одной белой гра­нью. Ана­ло­гич­но есть 6 ва­ри­ан­тов с одной чер­ной гра­нью.

Есть также три ва­ри­ан­та вы­брать пару про­ти­во­по­лож­ных гра­ней и по­кра­сить ее в белый цвет и по­лу­чить пер­вый тип рас­крас­ки с двумя бе­лы­ми гра­ня­ми. Ана­ло­гич­но есть три ва­ри­ан­та такой же чер­ной рас­крас­ки.

Для каж­до­го та­ко­го вы­бо­ра можно по­кра­сить одну из осталь­ных 4 гра­ней в белый цвет и по­лу­чить пер­вый тип рас­крас­ки с тремя бе­лы­ми гра­ня­ми. Таким об­ра­зом, этих ва­ри­ан­тов

Для вто­рой рас­крас­ки с тремя бе­лы­ми гра­ня­ми есть 8 ва­ри­ан­тов (они опре­де­ля­ют­ся тем, к какой из 8 вер­шин при­ле­га­ют все три белых грани).

Итого мы пе­ре­чис­ли­ли

ва­ри­ан­тов, зна­чит, на остав­ши­е­ся два спо­со­ба рас­крас­ки при­хо­дит­ся ва­ри­ан­та  — по 12 на каж­дый (ясно, что ва­ри­ан­тов с двумя смеж­ны­ми бе­лы­ми гра­ня­ми столь­ко же, сколь­ко с двумя смеж­ны­ми чер­ны­ми).

Те­перь ясны все ве­ро­ят­но­сти по­лу­чить каж­дый из спо­со­бов и мы можем по­счи­тать ве­ро­ят­ность по­лу­чить оди­на­ко­вые спо­со­бы на двух ку­би­ках (про­из­ве­де­ние двух оди­на­ко­вых ве­ро­ят­но­стей), а затем сло­жить их для всех спо­со­бов по­крас­ки. Най­дем

Ответ: а) б) де­сять рас­кра­сок; г)