PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет три решения.
г) Определите число корней уравнения 
Решение. а) Сразу отметим, что функция определена при условии 
и 
а при этих условиях ее можно преобразовать
Сделаем в уравнении замену 
получим
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Вернемся к замене переменной 
или 
тогда 
или 
б) Сделав аналогичную замену, получим неравенство
У многочлена в числителе есть корень 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Поскольку 
при всех t (его дискриминант отрицателен), оно не влияет на знак. Знаменатель всегда положителен (кроме случая, когда 
тогда дробь не определена). Значит, 
то есть 
отсюда 
имеем 
т. е. 
в) Сделаем ту же замену 
и еще обозначим 
Получим уравнение
Оно должно иметь три корня. Один его корень очевиден, это 
Выделим его:
Значит, либо 
либо 
или 
У этого уравнения должно быть два корня. Ясно что 
не является его корнем (поскольку 
), а 
будет его корнем только при
то есть только при 
Это b не должно попасть в ответ. При прочих b необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело два корня, то есть чтобы его дискриминант был положителен. Получаем условие
Итак, 
тогда
г) Сделаем ту же замену тогда 
и получаем:
Поскольку при подстановке получается 
а при больших t 
то в силу непрерывности есть корень на интервале 
и корень на интервале 
Итак, корней не менее двух. Докажем теперь, что корней не больше двух. При 
получим:
При 
производная:
поэтому функция убывает. На промежутке не более одного корня. При 
получим:
При 
производная:
поэтому функция возрастает. На промежутке не более одного корня. При 
получим:
Итак, общее количество корней не превосходит двух.
Ответ: а) 
б) 
б) б)