Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию ве­ро­ят­ность успеш­но­го от­ве­та равна от­но­ше­нию числа спо­со­бов вы­бо­ра двух во­про­сов из тех, от­ве­ты на ко­то­рые ему из­вест­ны, к числу спо­со­бов вы­бо­ра двух во­про­сов из 16 вы­не­сен­ных на зачет. Число спо­со­бов вы­бо­ра двух пред­ме­тов из k раз­лич­ных равна би­но­ми­аль­но­му ко­эф­фи­ци­ен­ту   — числу со­че­та­ний из k по 2. Таким об­ра­зом, если уче­ник знает от­ве­ты на p во­про­сов (при­чем по усло­вию ), то ве­ро­ят­ность его успеш­но­го от­ве­та на оба по­став­лен­ных во­про­са равна

зна­чит,

от­ку­да и сле­ду­ет ответ.

б) Этот во­прос не­мно­гим слож­нее преды­ду­ще­го. Од­на­ко в нем име­ет­ся сле­ду­ю­щая пси­хо­ло­ги­че­ская труд­ность: не­ис­ку­шен­но­му уча­ще­му­ся может по­ка­зать­ся оче­вид­ным, что в дан­ных усло­ви­ях уче­ник вы­учил от­ве­ты на по­ло­ви­ну из об­ще­го числа во­про­сов, и так и на­пи­сать в своем ре­ше­нии, со­слав­шись на некую «сим­мет­рию». Од­на­ко это «оче­вид­ное»  — не­вер­но.

Если уче­ник знает от­ве­ты на p во­про­сов, то вы­брать пару во­про­сов, из ко­то­рых ответ на один ему из­ве­стен, а ответ на вто­рой  — нет, он может спо­со­ба­ми. По­это­му

в) Ве­ро­ят­ность того, что он знает один слу­чай­но вы­бран­ный им во­прос, равна Число ва­ри­ан­тов вы­бо­ра им трех во­про­сов, от­ве­ты по край­ней мере на два из ко­то­рых ему из­вест­ны, равно По­это­му усло­вие за­да­чи за­пи­сы­ва­ет­ся не­ра­вен­ством

т. е. (после пре­об­ра­зо­ва­ний)

г) Решим за­да­чу в общем виде. Вна­ча­ле под­счи­та­ем число спо­со­бов раз­бить во­про­сов по n за­ну­ме­ро­ван­ным би­ле­там. По­сколь­ку во­про­сы для пер­во­го би­ле­та можно вы­брать спо­со­ба­ми, для вто­ро­го  — спо­со­ба­ми, и так далее, то общее число ва­ри­ан­тов равно

Пред­по­ло­жим те­перь, что уче­ник знает от­ве­ты на p во­про­сов и най­дем число «удач­ных» для него спо­со­бов рас­пре­де­ле­ния во­про­сов по n би­ле­там (здесь, ко­неч­но, ). Рас­ста­вим вна­ча­ле n во­про­сов из p из­вест­ных по n би­ле­там; это можно сде­лать спо­со­ба­ми. Остав­ши­е­ся n во­про­сов про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ем по би­ле­там, что можно осу­ще­ствить спо­со­ба­ми. В итоге имеем ва­ри­ан­тов, од­на­ко не­об­хо­ди­мо учесть, что у нас ока­жет­ся би­ле­тов, от­ве­ты на оба во­про­са в каж­дом из ко­то­рых уче­ни­ку из­вест­ны, и такие би­ле­ты мы со­счи­та­ли два­жды. По­это­му число удач­ных ва­ри­ан­тов равно а ис­ко­мая ве­ро­ят­ность есть

Под­ста­вив по­лу­чим ответ.

Ответ: а) 15; б) 6; 10; в) г)