PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) При каких значениях a уравнение 
имеет ровно два различных корня?
г) Пусть 
где 
и 
— число различных корней уравнения 
Постройте график функции n.
Решение. Преобразуем задающее функцию выражение. Функция определена при положительных значениях переменной, для них, используя свойства логарифма, получаем:
поэтому
а) Положим 
тогда неравенство примет вид 
Решая его методом интервалов, находим: 
или 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
б) Поскольку 
а 
имеем:
Пусть тогда из уравнения получаем:
Таким образом, 
откуда 
или откуда 
или 
откуда 
в) После замены которая не меняет количества корней, поскольку каждому t соответствует ровно одно значение x, получаем уравнение 
или после раскрытия скобок 
Если кубическое уравнение имеет ровно два корня, то один из них — корень кратности 2, поэтому является и корнем производной, откуда 
то есть 
или 
Подставляя найденные корни производной в исходное уравнение находим, при каких a найденные числа будут корнями:
Отметим также, что вторая производная равна 
и обращается в нуль только при 
а значит, найденные корни имеют кратность 2, но не имеют кратности 3.
г) Положим 
тогда 
а потому уравнение 
имеет вид
При 
(то есть 
) любое t будет решением. При прочих a можно поделить на a, получим 
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:
При 
дискриминант положителен, а у уравнения два корня, при 
имеется один корень, при 
корней нет.
Возвращаясь к b, получаем, что уравнение имеет два корня при 
то есть при
имеет одно решение при 
не имеет решений при 
и при 
Учитывая ограничение 
из условия, строим график функции 
Ответ: 
