PDF-версии: 
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) При тех же значениях a и b решите неравенство 
в) Пусть 
Найдите все такие значения b, что данная функция убывает на интервале 
г) Пусть 
Докажите, что уравнение 
имеет ровно три решения на отрезке 
тогда и только тогда, когда 
Решение. а) Удобно использовать формулу
б) Достаточно записать данное неравенство в виде
и исследовать знаки числителя и знаменателя.
в) Функция f будет убывающей на интервале 
если на этом интервале
или 
при 
г) График функции f при 
показан на рисунке. Уравнение имеет на отрезке три решения, если 
где 
— точка минимума данной функции. Имеем (см. пункт в)): 
откуда
В этом пункте в формулировке задачи появилось одно хорошо известное 
). Кривая, задаваемая им, называется астроидой (рис. а). Рассмотрим задачу о поиске касательной к астроиде, проходящей через данную точку 
Нетрудно видеть, что точка M с координатами 
лежит на астроиде, более того, любая точка на ней имеет такие координаты. Прямые вычисления показывают, что уравнение касательной к астроиде в точке M имеет вид
Поэтому число точек на астроиде, касательные в которых проходят через точку A, равно числу решений приведенного уравнения на отрезке !
Каков геометрический смысл полученного нами ответа? Оказывается, что таких касательных две, если точка A лежит вне астроиды или в ее вершинах, четыре, если эта точка лежит внутри, и три, если она лежит на астроиде, но не совпадает с одной из ее вершин (см. рис. б, в).
Ответ: 
