РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

№ 2002

? Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1.

? Классификатор: Геометрия

Сложность: 11 из 10

Санкт-петербургские выпускные экзамены. Профильно-элитарные варианты. 4. Производная, интеграл

4.  Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна единице. Обозначим: k₁, k₂  — отношения длин двух его ребер к третьему; $S левая круглая скобка k_1; k_2 правая круглая скобка$   — площадь поверхности этого параллелепипеда.

а)  Вычислите $S левая круглая скобка k_1; k_2 правая круглая скобка .$

б)  Докажите, что $S левая круглая скобка k_1; k_2 правая круглая скобка меньше или равно 2$ при $k_1 = k_2.$

в)  Пусть $k_1 = 2.$ Найдите наибольшее значение S.

г)  Пусть $k_1 = ak_2,$ a  — действительный параметр. При каком значении k₂ площадь S наибольшая?

Решение. Пусть a, b, c  — длины ребер данного параллелепипеда. Тогда

$S = 2 левая круглая скобка ab плюс bc плюс ca правая круглая скобка ,$

$a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате = 1.$

а)  Пусть $k_1 = дробь: числитель: a, знаменатель: c конец дроби ,$ $k_2 = дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби .$ Имеем:

$c в квадрате левая круглая скобка 1 плюс k_1 в квадрате плюс k_2 в квадрате правая круглая скобка = 1$

$S левая круглая скобка k_1; k_2 правая круглая скобка = 2c в квадрате левая круглая скобка k_1 плюс k_2 плюс k_1k_2 правая круглая скобка = 2 дробь: числитель: k_1 плюс k_2 плюс k_1k_2, знаменатель: k_1 в квадрате плюс k_2 в квадрате плюс 1 конец дроби .$

б)  Неравенство $S левая круглая скобка k; k правая круглая скобка = 2 дробь: числитель: k в квадрате плюс 2k, знаменатель: 2k в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 2$ равносильно $k в квадрате плюс 2k меньше или равно 2k в квадрате плюс 1,$ или $левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

в)  Введем функцию $f левая круглая скобка k правая круглая скобка = S левая круглая скобка 2; k правая круглая скобка = 2 дробь: числитель: 3k плюс 2, знаменатель: k в квадрате плюс 5 конец дроби ,$ $k больше 0.$ Имеем:

$f' левая круглая скобка k правая круглая скобка = минус 2 умножить на дробь: числитель: 3k в квадрате плюс 4k минус 15, знаменатель: левая круглая скобка k в квадрате плюс 5 правая круглая скобка в квадрате конец дроби ,$

значит, $f левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = 1,8$   — искомое наибольшее значение.

г)  Пусть

$g левая круглая скобка k правая круглая скобка = S левая круглая скобка ak; k правая круглая скобка = 2 умножить на дробь: числитель: ak в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка k, знаменатель: левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка k в квадрате плюс 1 конец дроби .$

Вычислив производную, получим, что ее корни  — это корни уравнения

$левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка k в квадрате минус 2ak минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = 0,$

дискриминант которого равен $4 левая круглая скобка a в квадрате плюс a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$ Следовательно, искомое значение $k = дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби$ (нетрудно показать, что при найденном k значение функции g наибольшее).

Ответ: а)  $2 умножить на дробь: числитель: k_1 плюс k_2 плюс k_1k_2, знаменатель: k_1 в квадрате плюс k_2 в квадрате плюс 1 конец дроби ;$ в)  1,8; г)  $k = дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби .$

----------

Дублирует задание 1980.

Критерии проверки:

Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1.

Классификатор: Геометрия

Сложность: 11 из 10

Ключ