PDF-версии: 
4. Дана функция 
а) Докажите тождество 
б) Решите уравнение 
в) Пусть 
Вычислите 
г) Найдите все решения неравенства 
из отрезка 
Решение. а) Последовательно получим:
б) Ясно что при 
x не является корнем уравнения. Поэтому можно поделить уравнение на 
потери корней не произойдет. Получим 
(см. пункт а). Обозначим временно 
тогда
в) Имеем:
Поэтому 
г) Запишем неравенство в виде 
то есть 
и отметим, что при 
будет 
поэтому 
— убывающая функция, причем 
и 
аналогично при 
будет 
поэтому —возрастающая функция, причем 
и 
Поэтому при условии 
Поэтому 
Ответ: б) 
в) 
г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г)