3.Б. Дана функция 
а) Напишите уравнение прямой m, касающейся графика функции 
в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции и прямую m.
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
прямой m и осью Oy.
г) Найдите все значения параметра b такие, что уравнение 
имеет ровно одно решение.
Решение. а) Уравнение касательной в общем виде 
Найдём значение функции и значение производной в точке 
Подставим найденные значения в уравнение касательной в общем виде: 
Уравнение искомой прямой m — 
б) ООФ:
Исследуем функцию с помощью производной: 
Стационарные точки найдём из условия 
Вычислим значения функции в некоторых точках:
| x | −1 | 0 | 2 | 3 |
| y | 7 | 0 | −2 | −9 |
Построим график.
в) Данная фигура сверху ограничена графиком функции снизу — прямой Пределы интегрирования: 
и 
Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла:
г) Преобразуем уравнение:
Полученная система имеет ровно одно решение в двух случаях, или если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, а другой не равен нулю, или если квадратное уравнение имеет один корень (D = 0), который не равен нулю.
Нуль является корнем при 
при этом второй корень уравнения равен 3 (этот случай подходит). Вычислим дискриминант: 
Он равен нулю при 
при этом единственный корень уравнения равен 
(этот случай тоже подходит).
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) г) б) см. рис.; в) г)