PDF-версии: 
3.А. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Постройте график функции 
в) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной графиком функции и прямой 
Решение. а) Решим уравнение
откуда 
б) Приведём функцию к виду
Функция является кубическим многочленом, поэтому всюду определена и принимает все вещественные значения. Ее корнями, очевидно, будут 
и 
Асимптот график не имеет. Возьмем производную
что отрицательно при 
и положительно при 
или 
Значит, функция возрастает на 
убывает на 
и возрастает на 
При 
у функции максимум, а при 
у функции минимум, причём 
Возьмем вторую производную 
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция выпукла вниз при и вверх при При 
у функции точка перегиба, 
График изображен на рисунке.
в) Наибольшее и наименьшее значение функции могут быть в корнях производной или на концах отрезка:
Значит, наибольшее значение 4, а наименьшее −16.
г) Из пункта a) мы знаем, что прямая 
пересекает график функции при 
и (нас интересует только первая четверть, поэтому мы не рассматриваем). Поскольку функция выпукла вниз при 
ее график лежит ниже секущей. Поэтому
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) −16 и 4; г) 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) −16 и 4; г) 4. б) см. рис.; в) −16 и 4; г) 4.