PDF-версии: 
3.Б. Дана функция 
а) Постройте график функции f.
б) Найдите первообразную для функции f, график которой проходит через точку с координатами 
в) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке графика с абсциссой 
г) Найдите площадь фигуры, расположенной во второй координатной четверти и ограниченной графиком функции f, касательной l и осью ординат.
Решение. а) Функция определена при всех значениях x. Ее производная равна
поэтому производная положительна (а функция возрастает) при 
и отрицательна (а функция убывает) при 
поэтому 
—
—
Кроме того, 
и 
Это позволяет построить график (см. рис.).
б) Любая первообразная для 
имеет вид 
Учитывая условие про координаты точки, получаем
Окончательно первообразная примет вид: 
в) Поскольку 
и 
уравнение касательной имеет вид 
или 
то есть касательная горизонтальна.
г) Область ограничена сверху касательной, а снизу графиком функции, поэтому площадь равна
Ответ: а) см. рисунок; б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г)