PDF-версии: 
3А. Рассматривается множество M всех комплексных чисел z таких, что 
Число 
обозначается 
а) Изобразите на комплексной плоскости множество M.
б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что 
в) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел 
где 
г) Среди всех 
таких, что 
найдите такие, при которых число 
будет наименьшим.
Решение. а) Множество M представляет собой угол с центром в начале координат и сторонами-лучами, наклоненными под углами 
и 
к положительному направлению оси абсцисс.
б) Обозначим 
тогда
По условию тогда 
откуда 
и 
Первое условие дает 
тогда второе превращается в 
откуда 
(и тогда 
) или 
Окончательно, подходят точки вида 
При этом не подходит, поскольку тогда и 
в) Запишем число z в тригонометрической форме: 
Тогда
Поэтому
Таким образом, множество всех точек 
при 
это дуга единичной окружности от 
до 
г) Расстояние от точки (лежащей на указанной в предыдущем пункте дуге) до точки 
является 
Ясно, что ближайшая к точка единичной окружности — это точка i, а чтобы получить именно ее нужно брать z имеющее аргумент 
Такое z разрешено.
Таким образом,
Ответ: б) прямая 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г)