3В. Дан многочлен 
а) Найдите все значения параметра b такие, что многочлен 
делится без остатка на многочлен 
б) Найдите все значения параметра b такие, что многочлен имеет три вещественных корня (не обязательно различных), сумма которых равна 8.
в) Найдите все значения параметра b такие, что многочлен имеет три вещественных корня, образующих арифметическую прогрессию.
г) Случайным образом выбирают число b из множества целых чисел, принадлежащих отрезку 
Определите вероятность того, что при этом значении b число 
является корнем многочлена кратности два.
Решение. а) Многочлен делится на 
в том и только в том случае, когда он имеет корни 2 и −2. Подставим их.
При 
получим
При 
получим
Ответ: 
б) Воспользуемся тем, что всегда является корнем и выделим множитель 
получим
Тогда его корни это 
и по условию
в) Теоретически возможны три ситуации — какой из корней будет средним членом прогрессии. Первый случай 
тогда 
и корни 
Второй случай 
тогда 
и корни 
Третий случай 
тогда 
и корни 
Ответ: 
г) Нужно, чтобы одно из чисел 
или 
оказалось равно 2, то есть 
или 
При этом второе из этих чисел оказывается не равно двойке (так что корень будет именно кратности 2, а не 3). Итак, нам подходят 2 числа из 11 целых чисел отрезка 
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Воспользуемся тем, что всегда является корнем и выделим множитель получим
Тогда его корни это и по условию
в) Теоретически возможны три ситуации — какой из корней будет средним членом прогрессии. Первый случай тогда и корни Второй случай тогда и корни Третий случай тогда и корни
Ответ:
г) Нужно, чтобы одно из чисел или оказалось равно 2, то есть или При этом второе из этих чисел оказывается не равно двойке (так что корень будет именно кратности 2, а не 3). Итак, нам подходят 2 числа из 11 целых чисел отрезка
Ответ: а) б) в) г)
б) Воспользуемся тем, что всегда является корнем и выделим множитель получим
Тогда его корни это и по условию
в) Теоретически возможны три ситуации — какой из корней будет средним членом прогрессии. Первый случай тогда и корни Второй случай тогда и корни Третий случай тогда и корни
Ответ:
г) Нужно, чтобы одно из чисел или оказалось равно 2, то есть или При этом второе из этих чисел оказывается не равно двойке (так что корень будет именно кратности 2, а не 3). Итак, нам подходят 2 числа из 11 целых чисел отрезка
Ответ: а) б) в) г)