PDF-версии: 
3В. Даны функции 
и 
а) Пусть 
Решите неравенство 
б) Найдите все значения a, при которых функция 
определена на всей вещественной оси.
в) Найдите все значения a, при которых условие 
следует из условия 
г) Найдите все значения a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение. а) Запишем неравенство в виде 
Ясно, что 
иначе неравенство не определено, и 
иначе корень должен быть меньше отрицательного числа, что невозможно. При 
можно возвести неравенство в квадрат
Учитывая условие 
получаем окончательно 
б) Нужно, чтобы неравенство 
выполнялось при всех x, а для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена 
был неположительный. Вычислим его
что неположительный только при 
в) Нужно, чтобы корень функции 
был заодно и корнем функции 
то есть чтобы при 
выполнялось равенство 
Подставим это значение
г) Корнями уравнения 
будут корни уравнений 
и 
если для них определены обе функции. Найдем корни этих уравнений. Корнем первого будет 
а корнями второго
то есть 
и 
Выясним теперь, когда эти корни удовлетворяют уравнению 
При имеем и
то есть такое x подходит при 
или при 
При имеем 
и 
то есть такое x подходит при 
или при 
При 
имеем и 
то есть такое x подходит при 
или при 
Еще сразу отметим, что 
при 
при 
и 
при 
Тогда при 
имеются как минимум два различных корня и 
При 
есть два корня и 
При 
есть только корень 
При 
есть только корень При 
есть только корень Окончательно, единственный корень будет в случае 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г)