PDF-версии: 
3А. Рассматривается комплексные числа z и 
а) Найдите все числа z такие, что 
б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что 
в) Пусть 
Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.
г) Пусть случайным образом выбирается число z такое, что 
Найдите вероятность того, что при 
Решение. Пусть 
тогда
а) Выражение 
означает, что 
откуда 
и 
то есть 
Значит, 
или 
То есть 
или 
б) Равенство 
дает 
то есть
Это уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
Эта окружность изображена на левом рисунке.
в) Если 
то 
То есть нужно взять все точки, лежащие на единичной окружности 
и сдвинуть их вправо на 1. Получится окружность радиуса 1 с центром в точке 
Эта окружность изображена на правом рисунке.
г) Рассмотрим точки пересечения окружности с окружностью из пункта в. Очевидно, они образуют правильные треугольники с точками и Поэтому дуга окружности между этими точками имеет градусную меру 
или треть окружности.
Итак, треть окружности пункта в расположена внутри окружности 
Значит, с вероятностью 
случайно выбранная на ней точка (а выбирать точку сразу на ней или выбирать точку на окружности и прибавлять 1 — без разницы) будет иметь модуль не меньше 1.
Ответ: а) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |