PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
на отрезке 
в) Найдите все пары чисел x и y, принадлежащие отрезку 
такие, что одновременно выполняются равенства
и 
г) Найдите координаты всех точек графика функции 
имеющих абсциссу из отрезка 
и таких, что на расстоянии 
от них имеется точка графика функции 
с такой же ординатой.
Решение. а) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его
б) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его аналогично пункту а. Получим
Первый множитель положителен при 
и отрицателен при 
Второй множитель отрицателен при 
(из отрицательного числа вычитают положительное), положителен при 
(из положительного числа вычитают отрицательное) и возрастает при 
(из возрастающей функции вычитают убывающую), причем равен нулю при 
(см. пункт а). Значит, на самом деле он отрицателен 
Знаки множителей совпадают 
в) Преобразуем уравнения. Первое дает
Значит либо 
либо 
либо 
что невозможно, т. к. в предыдущем уравнении обнуляется знаменатель. Если то второе уравнение дает 
отсюда 
т. е. 
что тоже невозможно из-за знаменателя.
Значит откуда 
—
Оно уже было решено в пункте а) и имеет корни и 
на указанном промежутке. Но для двух последних получаем 
что невозможно. Итого, 
г) Поскольку у точки должна быть такая же ордината, точки должны лежать на прямой, параллельной оси абсцисс, поэтому их координаты по оси 0x должны отличаться на 
Итак, нам нужны такие x, для 
1) когда 
дает 
То есть либо 
где нет точек на 
либо 
т. е. 
Из них на 
лежит только 
2) когда 
дает 
То есть либо 
где нет точек 
т. е. 
Из них на лежит только 
Осталось вычислить значения в данных точках:
Окончательно: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г)