3Б. Дана функция 
а) Найдите первообразную функции 
на множестве 
график которой проходит через точку 
б) Постройте график функции 
в) Проверьте, является ли прямая l, заданная уравнением 
касательной к графику функции
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
осью абсцисс и прямыми l и 
Решение. Заметим, что 
поэтому все ее первообразные имеют вид
а) Подставим в уравнение 
точку 
Получим 
откуда 
Итак, это 
б) Очевидно 
определена при всех 
и является четной функцией. При 
откуда 
— вертикальная асимптота. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, поскольку при больших x функция ведет себя примерно как квадратичная функция 
Ясно, что 
так что корней у функции нет.
Возьмем ее производную
Воспользовавшись методом интервалов, получим что 
при 
и 
при 
Значит, функция возрастает при 
и 
и убывает при 
и 
Функция имеет минимум при 
Возьмем вторую производную
и при 
Осталось построить график.
в) Если 
является касательной, то производная в точке касания равна −15. Решим уравнение
Ясно, что одним из корней является 
Напишем уравнение касательной в точке 
Сошлось.г) Найдем точку пересечения прямой с осью абсцисс. 
Значит, область ограничена сверху графиком функции (функция выпукла вниз, поэтому ее график лежит выше касательной), а снизу — касательной при 
и осью абсцисс при 
Опустим из точки 
перпендикуляр на ось абсцисс. Получим прямоугольный треугольник с катетами 
и 
площадь которого равна 
Добавим к фигуре этот треугольник и вычтем потом его площадь из ответа. Тогда получаем
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) да, является, в точке с абсциссой 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) да, является, в точке с абсциссой г) б) см. рис.; в) да, является, в точке с абсциссой г)