PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Докажите равенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все решения неравенства 
из отрезка 
г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет четыре корня на отрезке 
Решение. а) Докажем что 
Умножим на знаменатель.
Получаем верное равенство. Что и требовалось доказать.
б) Имеем:
Получаем два уравнения. Первое уравнение:
Второе уравнение:
Из второго набора подходят все x, а из первого только те, для которых 
(те, для которых 
посторонние и появились при возведении в квадрат). Итак, 
и 
Окончательно: 
и
в) Преобразуем неравенство:
На промежутке 
функция 
возрастает от −1 до 1, при этом 
и 
Аналогично на промежутке 
функция убывает от 1 до 0, при этом 
Отсюда получаем ответ 
г) Запишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим уравнение 
или 
У него не более двух корней. Заметим, что функция принимает на отрезке 
все значения от 0 до 1 (исключая 1) по два раза, значение 1 один раз, а других значений не принимает вовсе. Таким образом, оба корня квадратного уравнения должны лежать на промежутке 
Запишем уравнение в виде 
и построим график функции 
Это парабола с вершиной при 
и 
Кроме того, 
и 
Теперь проведем горизонтальную прямую 
и посмотрим, как она будет пересекать данную параболу.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при и правую при 
Этот случай не подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
(на самом деле при 
но это неважно). Этот случай подходит.
Если 
то прямая пересечет левую ветвь при 
и правую при 
Этот случай подходит.
Если же 
то прямая пересечет параболу один раз или ни разу, поэтому больше двух корней быть не может.
Итак, 
откуда 
Ответ: 1. б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) в) г)