2. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите промежутки монотонности функции 
г) Найдите множество значений функции 
при 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Запомним, что 
и запишем равенство числителей: 
Обозначим 
получим
Вернемся к исходной переменной: 
Ответ: 
б) Преобразуем неравенство 
Обозначим получим
Вернемся к исходной переменной: 
отсюда 
в) Исследуем сначала функцию 
Возьмем ее производную.
Значит, эта функция возрастает на промежутках 
и 
Заметим далее, что 
— возрастающая функция, а композиция двух возрастающих функций сама возрастает. Поскольку 
при 
и определено при 
получаем окончательный ответ — функция возрастает на 
и 
(в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например 
).
г) Как следует из предыдущего пункта, функция монотонна на 
поэтому достаточно понять ее значение при 
и предел справа в точке 
Числитель этой дроби стремится к −3, а знаменатель к нулю, принимая положительные значения. Значит, предел равен 
Ответ: 
Ответ: а)
б) 
в) функция возрастает на 
и 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Преобразуем неравенство
Обозначим получим
Вернемся к исходной переменной: отсюда
в) Исследуем сначала функцию Возьмем ее производную.
Значит, эта функция возрастает на промежутках и Заметим далее, что — возрастающая функция, а композиция двух возрастающих функций сама возрастает. Поскольку при и определено при получаем окончательный ответ — функция возрастает на и (в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например ).
г) Как следует из предыдущего пункта, функция монотонна на поэтому достаточно понять ее значение при и предел справа в точке
Числитель этой дроби стремится к −3, а знаменатель к нулю, принимая положительные значения. Значит, предел равен
Ответ: а) б) в) функция возрастает на и г)
б) Преобразуем неравенство
Обозначим получим
Вернемся к исходной переменной: отсюда
в) Исследуем сначала функцию Возьмем ее производную.
Значит, эта функция возрастает на промежутках и Заметим далее, что — возрастающая функция, а композиция двух возрастающих функций сама возрастает. Поскольку при и определено при получаем окончательный ответ — функция возрастает на и (в ответе промежутки объединять нельзя, поскольку например ).
г) Как следует из предыдущего пункта, функция монотонна на поэтому достаточно понять ее значение при и предел справа в точке
Числитель этой дроби стремится к −3, а знаменатель к нулю, принимая положительные значения. Значит, предел равен
Ответ: а) б) в) функция возрастает на и г)