Ре­ше­ние. а)  Из си­сте­мы

на­хо­дим, что u  =  i и (1 − u)a  =  2.

б)  Если f(1)  =  i, то от­ку­да

Од­на­ко сле­ду­ет учесть, что u ≠ 1. При |u|  =  1 мно­же­ство точек вида i − 2u яв­ля­ет­ся окруж­но­стью с цен­тром в точке i ра­ди­у­сом 2.

в)  Пусть По усло­вию по­это­му ис­ко­мое мно­же­ство об­ра­зо­ва­но точ­ка­ми, из ко­то­рых от­ре­зок с кон­ца­ми в z и w виден под углом

г)  По­ка­жем пре­жде всего, что если отоб­ра­же­ние f пе­ре­во­дит точки верх­ней по­лу­плос­ко­сти в точки пра­вой по­лу­плос­ко­сти, то не­об­хо­ди­мо u  =  −it, где число t ве­ще­ствен­но и по­ло­жи­тель­но. Вна­ча­ле рас­смот­рим об­ра­зы точек ве­ще­ствен­ной оси, Пусть u  =  v + iw, a  =  b + ic. Так как

при всех то v  =  0. Те­перь пусть z  =  x + iy, x, и y ⩾ 0. Имеем: при всех y ⩾ 0 тогда и толь­ко тогда, когда −w > 0 и b + wc ⩾ 0. Пе­ре­обо­зна­чив t  =  −w, по­лу­чим, что u  =  −it, где t > 0, и b ⩾ tc. По­это­му ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний a  =  b + ic яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ни­ем по­лу­плос­ко­стей b ⩾ tc при всех по­ло­жи­тель­ных t.

Ответ:

а)  

б)  окруж­ность |z − i|  =  2, ис­клю­чая точку i − 2;

в)  дуга окруж­но­сти x² + y²  =  4, точки ко­то­рой удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству x < 1;

г)  вся плос­кость, ис­клю­чая вто­рой квад­рант и вклю­чая на­ча­ло ко­ор­ди­нат.