PDF-версии: 
При каких значениях параметра m уравнение 
имеет единственный корень?
Решение. Методом замены переменной сведем данное показательное уравнение к квадратному. Пусть 
где 
тогда получаем:
Найдем четверть дискриминанта полученного уравнения: 
Исходное показательное уравнение имеет единственный корень, если соответствующее ему квадратное уравнение: а) имеет единственный корень и он положительный, б) имеет два различных корня, только один из которых положительный.
Рассмотрим первую ситуацию: дискриминант должен быть равен нулю, откуда
Для каждого из найденных m корнем является 
и поскольку этот корень положительный, оба значения параметра подходят.
Рассмотрим вторую ситуацию 
получим:
Для этих значений параметра имеем два корня: 
и 
Так как 
при 
оба корня положительны, что противоречит требованию единственности положительного корня. Аналогично не подходит случай 
Рассмотрим случай, когда 
а 
Решим соответствующую систему:
Ответ: при 
Примечание.
Выше мы свели требования к корням квадратного уравнения к системе иррациональных неравенств. Покажем более простой путь, основанный на применении теоремы, обратной теореме Виета.
Если дискриминант квадратного уравнения положителен, оно имеет один положительный и один неотрицательный корень в следующих случаях: а) произведение корней отрицательно, б) произведение корней равно нулю, при этом сумма корней положительна. Дискриминант уравнения 
больше нуля, если 
При всех таких таких значениях параметра сумма корней равна 4 (положительна, что и требуется), а произведение корней равно равно свободному члену 
То если при условии 
либо 
либо 
Объединяя эти случаи, получаем:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |