PDF-версии: 
Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение куба первого слагаемого на второе слагаемого было наибольшим.
Решение. Обозначим первое слагаемое через x, тогда второе равно 
По условию задачи 
Произведение куба первого слагаемого на второе равно 
Пусть 
Тогда задача сводится к нахождению точки на интервале 
в которой функции f(x) достигает своего наибольшего значения. Тогда производная функции f(x) равна
откуда 
в точке 
и 
Функция f(x) непрерывна и дифференцируема при 
причем при 
производная 
а при 
производная равна 
Следовательно, 
— точка максимума Так как f(x) имеет единственный экстремум на данном интервале и это максимум, то он и является наибольшим значением функции f(x) на интервале 
т. е.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |