PDF-версии: 
При каких значениях параметра a система 
имеет два решения?
Решение. Заметим, что поскольку значение переменной y определяется единственным образом при заданных значениях переменных x и a из второго уравнения системы, то исходная система имеет столько же решений, сколько решений относительно x имеет уравнение
при одних и тех же значениях a. Поэтому для ответа на вопрос задания достаточно ответить на вопрос: «При каких значениях a уравнение (1) имеет два решения?» Приведем сначала два аналитических способа решения.
Ⅰ способ. Будем решать уравнение (1) на двух промежутках, на каждом из которых выражение под знаком модуля знакопостоянно.
1) Пусть 
тогда 
и получаем: 
или 
Если a = 1, то уравнение 
не имеет решений. Если 
то 
Решив неравенство 
получаем, что 
принадлежит промежутку 
при 
2) Пусть 
тогда 
и получаем: 
или 
Если a = −1, то уравнение 
не имеет решений. Если то 
Решив неравенство 
приходим к выводу, что 
принадлежит промежутку 
при 
или 
3) Объединяя полученные результаты, приходим к заключению, что уравнение (1), а следовательно, и исходная система, имеет два решения при 
Ответ: 
Комментарий.
Решение данной системы на языке равносильных переходов можно кратко записать так:
так как 
то составим совокупность из систем
Данный способ решения, как, впрочем, и последующие, позволяет не только дать ответ на вопрос задания, но и решить систему для любого значения параметра a, указать число решений 
при 
при 
причем единственным решением служит пара чисел 
при 
причем решениями системы являются пары: 
и 
Ⅱ способ. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат, получая уравнение−следствие: 
или
Поскольку при 
уравнение (2) превращается в линейное, то значения не являются искомыми, так как линейное уравнение не может иметь только два решения, оно либо не имеет решений, либо имеет единственное решение, либо решением является любое действительное число. Пусть 
Тогда уравнение (2) является квадратным и 
при любом 
Следовательно, корни уравнения (2) таковы: 
т. е. 
и 
Заметим, что при 
Проверим значения в уравнение (1), получаем равенство 
которое является верным при 
т. е. при 
Следовательно, 
или при 
Подставляя 
в уравнение (1), получаем равенство 
которое является верным при 
т. е. при 
Для 
происходит совпадение x1 и x2. Значит, уравнение (1), а следовательно, и исходная система имеет два решения при 
Приведем теперь графические способы решения задания, наглядно раскрывающие смысл формальных рассуждений.
Ⅲ способ. Заметив, что х = 0 не является решением уравнения (1) ни при каком значении a, иначе получилось бы равенство: 
ложное при любом 
Перепишем уравнение (1) в виде:
Задача сводится к отысканию всех тех значений функции a(x), которые принимаются ее два раза. Замечаем. что при 
функция a(x) монотонно возрастает, принимая все значения из промежутка 
и только их, а при 
функция a(x) монотонно убывает на каждом из промежутков 
и 
принимая все значения из множества 
и только их. Следовательно, значения. которые функция a(x) принимает два раза, заполняют промежуток 
Это и есть искомые значения параметра.
Построим эскиз графика функции 
в координатной плоскости xOa (рис. 2). Заметим, что для его построения достаточно знать свойства функции 
где 
изучаемые в Ⅶ классе, и простейшее преобразование графиков функций. Даже без подробного изучения теории пределов внимательный ученик отметит, что 
— вертикальная асимптота; 
и 
— горизонтальные асимптоты, причем если 
то 
для любого 
а если 
то 
при любом 
Очевидно, что все точки построенного графика и только они имеют координаты 
удовлетворяющие уравнению (1). Поэтому количество решений уравнения (1) по переменной x при каждом значении параметра 
совпадает с количеством точек пересечения прямой l, задаваемой уравнением 
с построенным графиком Из рис. 2 непосредственно видно, что при 
уравнение (1), а следовательно, и исходная система, имеет два решения.
Комментарий.
Решениями уравнения (1) при данном значении параметра являются абсциссы точек пересечения прямой l с построенным графиком. Ясно, что мы вправе рассматривать и координатную плоскость xOy, построив график функции 
используя в рассуждении семейство прямых 
где
Ⅳ способ. Рассмотрим еще один способ применения графиков для решения задач с параметрами. Известно. что число решений уравнения 
совпадает с количеством точек пересечения графиков функций 
и 
построенных в одной системе координат. График функции 
не зависит от параметра a, и его называют неподвижным. График функции 
— подвижный, он представляет собой прямую, проходящую через точку 
и имеющую угловой коэффициент a (рис. 3). Поэтому искомыми являются те значения параметра a, при которых подвижный график пересекает неподвижный в двух точках.
Поскольку необходимым и достаточным условием параллельности двух различных прямых, являющих графиками линейных функций, является равенство их угловых коэффициентов, получаем наглядную картину «расслоения» значений параметра a для возможных ситуаций при решении уравнения (1); отсутствие решений при 
единственность решения при 
и 
два решения при
Комментарий.
Представив уравнение (1) в виде равносильного ему уравнения 
целесообразно рассмотреть еще один вариант применения указанного способа (рис. 4). Опять получается наглядная иллюстрация «расслоения» значений параметра a для всех возможных случаев при решении уравнения, a следовательно, и системы.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |