PDF-версии: 
Сколько решений имеет уравнение 
Решение. Рассмотрим функцию 
Она определена и дифференцируема на 
Так
Таким образом, данная функция имеет единственную критическую точку, получаемую из уравнения 
и 
при 
то 
где f(x) убывает; при 
то 
где f(x) возрастает. Таким образом, точка 
является точкой экстремума (минимума). Получим
Функция f(x) убывает на 
причем
Таким образом, 
а 
на 
откуда следует, что на 
исходное уравнение имеет единственный корень, находящийся между 
и 
Функция f(x) возрастает на 
причем 
а 
Отсюда следует, что на 
исходное уравнение имеет единственный корень, находящийся между 
и 1.
Ответ: два решения.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |