PDF-версии: 
Найдите все такие точки графика функции 
в которых касательная к этому графику параллельна прямой 
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на 
Найдем производную:
Для того, чтобы касательная в точке графика с абсциссой t была параллельна прямой 
необходимо (но не достаточно — см. ниже замечание), чтобы 
т. е.
Пусть 
получим
Тогда 
где 
второй корень не дает решения, т. к. 
при всех t. Таким образом, на графике функции 
есть единственная точка 
с угловым коэффициентом касательной в этой точке, равным 2. Так как эта точка не лежит на прямой то касательная параллельна этой прямой.
Ответ: 
Замечание. Для того, чтобы касательная к графику функции 
в точке с абсциссой t была параллельна прямой 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система условий
т. е. чтобы не только угловой коэффициент прямой 
был равен производной функции f(x) при 
(условие (1)), но и чтобы эта точка графика не находилась на данной прямой (условие (2)). Иначе — при нарушении условия (2) — касательная к графику совпадает с данной прямой, a, следовательно, не параллельна ей.
Если ученик опустит данную часть обоснования решения задачи, то решение является неполным и соответствующим образом должно оцениваться.
Примечание Д. Д. Гущина.
В замечании выше говорится, что для параллельности прямых 
и 
необходимо и достаточно одновременного выполнения двух условий: 
и 
а если в решении отсутствует условие оно не может считаться верным. Это замечание, сделанное авторами в 1994 году, следует признать сомнительным и для того, и для нашего времени. Снижать оценку не следует. Дело в том, что в школьных и вузовских курсах математики одновременно используются оба определения параллельности. Подробнее об этом ниже.
В учебной и методической литературе на не слишком интересный с точки зрения настоящей математики вопрос о том, считать ли совпадающие прямые параллельными нет единой позиции. Обычно в учебниках геометрии слова «две прямые», «три точки» принято относить к разным прямым и точкам. От этого правила зачастую отступают. Например, в учебнике аналитической геометрии В. А. Ильина, Э. Г. Поздняка Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1988 или же: И. М. Виноградов Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1999.
В учебниках и учебных пособиях по алгебре, наоборот, чаще принимается противоположное соглашение: условием параллельности прямых считается лишь равенство угловых их коэффициентов. Такой подход изложен при решении задач, в частности, в следующей написанной известными специалистами и выпущенной ведущими издательствами литературе:
— в методическом пособии для учителей, преподающих в специализированных классах: М. Л. Галицкий, М. М. Мошкович, С. И. Шварцбурд Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение, 1986;
— в справочном пособии по алгебре и началам анализа В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко Задачи по математике. Начала анализа. Справочное пособие. М.: Наука, 1990;
— в учебных пособиях для поступающих в МГУ имени М. В. Ломоносова: Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, М. К. Потапов Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1980, а также И. И. Мельников, И. Н. Сергеев Как решать задачи на вступительных экзаменах по математике. М.: МП Азбука, 1994, и в других пособиях для учителей и учащихся тех лет и нынешнего времени.
Наконец, этой же позиции придерживаются современные входящие в Федеральный перечень учебники авторских коллективов под руководством С. М. Никольского (М., Просвещение, 2009) и А. Ш. Алимова (ныне Ю. М. Колягина — М., Просвещение, 2019).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |