PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Преобразуем уравнение:
Поскольку
причем, наличие хотя бы одного строгого неравенства 
или 
превращает также и (2) в строгое неравенство. Отсюда и из (1) следует, что система
равносильна исходному уравнению. Решив уравнение 
получим 
где 
Эти значения х являются также решениями уравнения 
так как 
Отсюда следует, что значения где 
— это все решения системы (3), а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 
Ⅱ способ. Покажем, что из исходного уравнения следует система
Действительно, нетрудно видеть, что 
и 
Предположим противное, т. е. что система не имеет места. Тогда нарушается по крайней мере одно из ее равенств. Пусть, для определенности, не имеет место равенство 
В этом случае 
Из исходного уравнения следует, что
т. е. 
чего не может быть. Мы пришли к противоречию, значит, система справедлива. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности систем
Рассмотрим первую систему этой совокупности. Решим уравнение 
Подставив найденное значение х в левую часть уравнения 
имеем
это означает, что система несовместна. Перейдем теперь ко второй системе из совокупности (4). Решим уравнение 
Подставив это решение в левую часть уравнения 
получим 
При 
где 
получим 
Таким образом, решение второй системы из совокупности (4) имеет вид 
где 
Это и есть решение исходного уравнения.
Замечание. На экзаменах мы обратили внимание на то, что в большинстве случаев ученики решали подобные задачи с помощью тригонометрического круга. Это вполне допустимо. Например, для системы (3) ученик нашел бы серии решений каждого из уравнений: 
и 
где 
Отображая затем каждую из серий на тригонометрический круг (см. рис.), он выделил бы общие для двух серий точки. В данном случае это точка 
отсюда решение системы (3): 
Это и есть и решение исходного уравнения.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |