PDF-версии: 
При каких значениях параметра b уравнение 
имеет два различных решения?
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
Ⅰ способ. Для начала обозначим исходное уравнение (А). После рассмотрим квадратное уравнение
тогда
где 
и 
Очевидно, что, если t — положительный корень уравнения (Б), то x = t и 
два различных корня уравнения (А). Таким образом, надо рассмотреть совокупность уравнений 
равносильную уравнению (А). Эта совокупность имеет ровно два решения в трех случаях.
В этом случае уравнение (А) имеет ровно два корня: 
и 
В этом случае уравнение (А) имеет ровно два корня: 
и 
Эта система несовместна.
Ответ: 
Ⅱ способ. Найдем значения параметра b, для которых уравнение (Б) имеет один положительный и один отрицательный корень. Из того, что корни разного знака, следует, по теореме Виета, что свободный член отрицателен, т. е. справедлива система 
Приведенная система является достаточным условием для того, чтобы уравнение (Б) имело положительный и отрицательный корни. Этот вывод легко подтвердить геометрическими соображениями. В самом деле, условие 
означает, что уравнение (Б) имеет два различных корня, а условие 
— что значение квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения (Б), отрицательно при t = 0. Из того, что ветви соответствующей параболы направлены вверх, следует: данный квадратный трехчлен имеет корни разного знака.
Нужно, правда, отметить, что при таком подходе есть опасность забыть о другом случае, о том, что уравнение (Б) может иметь два совпадающих положительных корня. Это имеет место тогда и только тогда, когда справедлива система 
Заметим, что если бы в данной системе вместо второго неравенства фигурировало условие 
то тем самым положительные корни уже не были бы гарантированы.
Решим совокупность обеих рассмотренных выше систем. Поскольку
первую систему перепишем так:
Теперь перейдем ко второй системе
Совокупность решений обеих систем дает ответ.
Замечание.
Разбирая с учащимися этот пример на уроке, полезно обратиться к более общей задаче: для каждого значения b решить уравнение 
После выполнения преобразований, аналогичных приведенным в 1 способе, получим совокупность уравнений 
Последовательное рассмотрение этой совокупности приводит к следующим результатам. При выполнении условий 
и 
т. е. при 
решений нет; при b = 0 получаем единственный корень x = 0; при 
или при b = 1 имеем два корня 
и 
при 
получаются три корня 
и 
при 
или при 
— четыре корня 
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |