PDF-версии: 
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет 4 различных решения?
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Эту задачу можно переформулировать так: «При каких значениях а уравнение
имеет два различных положительных корня?» Для начала обозначим исходное уравнение (А), а уравнение с заменой переменной (Б). Действительно, если, с одной стороны, уравнение (Б) имеет два положительных корня t 1 и t 2 
то уравнение (А) имеет четыре различных корня 
Более четырех корней уравнение (А) иметь не может, поскольку при 
и при 
это уравнение — квадратное. С другой стороны, если уравнение (А) имеет четыре различных корня, то они имеют вид u; −u; p; -p, и уравнение (Б) имеет два различных положительных корня |u| и |р|. Найдем зависимость корней уравнения (Б) от параметра а, вычислив дискриминант D уравнения (А):
Уравнение (А) имеет четыре корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия 
и 
Отсюда получаем систему
Ответ: 
Замечание
В том случае, когда корни квадратного уравнения легко выразить через параметр (т. е. дискриминант является квадратом некоторого выражения), данный способ решения, использующий явные выражения для корней, является одним из наиболее рациональных. А как быть в общем случае? Приводимый ниже 2-й способ показывает (на данной задаче), как можно получить решение, не используя явные выражения для корней соответствующего квадратного уравнения.
2-й способ. Найдем значения параметра а, для которых уравнение (Б) имеет два различных положительных корня t1 и t2. Из положительности корней следует, по теореме Виета, что коэффициент при t отрицателен, а свободный член положителен, т. е. имеет место система неравенств:
Обратно, пусть приведенная выше система выполняется. Покажем, что отсюда следует существование двух положительных различных корней уравнения (Б). Для этого заметим, что каждое неравенство системы имеет простой геометрический смысл. Неравенство
означает, что абсцисса вершины графика квадратного трехчлена 
положительна. Условие 
— что этот график (парабола) пересекает ось Оу в верхней полуплоскости, а условие 
— что вершина параболы находится в нижней полуплоскости (см. рис.). Отсюда следует, что корни квадратного трехчлена f(t) положительны и различны, поскольку ветви параболы направлены вверх. Таким образом, мы доказали: для того чтобы уравнение (А) имело четыре различных корня, необходимо и достаточно выполнение условий и 
а также 
Воспользовавшись выражением
запишем полученные выше условия в виде системы неравенств и решим ее:
Отсюда следует ответ задачи.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |