PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет ровно один корень.
Решение. Решим задачу двумя способами.
I способ. Основание логарифма положительно, поэтому при делении частей уравнения на a не происходит потери корней. Получаем:
Обозначим 
тогда
откуда
Полученное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики левой и правой частей имеют единственную точку пересечения. Поскольку между переменными t и x взаимно однозначное соответствие, в этом случае и исходное уравнение имеет единственное решение.
Построим графики функций 
и 
Основание показательной функции отлично от 1. При 
показательная функция убывает, а при 
— проходит через точку
Из построенных графиков ясно, что при 
графики будут иметь четыре точки пересечения, три из которых отмечены на рис. слева. При 
уравнение будет иметь единственный корень (рис. справа), если графики пересекаются в точке 
откуда 
Ответ: при
II способ. Приведем аналитическое решение.
Сразу заметим, что 
Преобразуем уравнение
). Сделаем теперь замену каждому x соответствует ровно одно t и наоборот, поэтому полученное уравнение по-прежнему должно будет иметь ровно один корень
(сразу заметим, что при 
выражение 
не определено, поэтому мы не теряем корень).Теперь осталось выяснить, при каких значениях 
функция
Случай 1. При 
она превращается в
Значит, при 
она задается формулой
При 
она задается формулой 
Случай 2. При 
она превращается в
Значит, при 
она задается формулой
При 
она задается формулой 
Итак, вот ее окончательная формула
Значит, ее производная равна
Поскольку нас будет интересовать лишь ее знак, можно не обращать внимания на знаменатель (
всегда, а прочие выражения положительны на соответствующих промежутках). Обозначим числитель за 
тогда
Как видно, все части графика этой новой функции будут сдвигами графика 
производная которой равна
Значит, функция 
возрастает при 
и убывает при 
достигая максимума при 
(значение в точке максимума тоже равно 1). Вычислим еще предел этой функции при 
При 
имеем 
поэтому
Значит, 
положительно на этом промежутке.
При 
все значения функции
При 
имеем 
поэтому
Докажем, что 
тогда 
При 
все значения функции
Итак, производная изначальной функции положительна на 
и 
и отрицательна на 
и 
Значит, функция возрастает на и и убывает на и
Отметим также, что
В таком случае, осталось вычислить значения этой функции в точках локальных максимумов 
и 
и выбрать из них большее. Оно принимается один раз, а все остальные — не менее двух. Имеем:
Итак, единственное решение возможно лишь при 
то есть при
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |