PDF-версии: 
Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой 
с концами на графиках функций 
и 
Решение. Мы покажем несколько способов решения этой задачи (частично во II варианте).
Прежде всего заметим, что обе функции непрерывны на ℝ и каждая из них монотонно возрастает на ℝ. Действительно,
так как 
Нетрудно показать, что множество значений каждой функции — также ℝ (для второй функции мы это увидим немного ниже).
I способ. Рассмотрим абсциссы точек пересечения каждого из графиков данных функций с прямой 
т. е. это точка 
Для второй функции:
Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня, так как его дискриминант 
положителен при любых значениях параметра a. Корни:
Проверим выполнение условия (2). Для этого рассмотрим квадратичную функцию (левую часть уравнения (1)): 
Вычислим 
Поскольку ветви графика функции f(x) направлены вверх, и 
это означает, что число 
находится между корнями этого квадратного трехчлена. Таким образом, 
и решением системы (1), (2) является 
(Одновременно мы показали, что множеством значений функции 
является ℝ.)
Замечание. Некоторые учащиеся доказывали, что корень 
посторонний, следующим образом: 
а 
забывая при этом, что неравенство 
для отрицательных a неверно, т. е. верный вывод делался на основании неверных рассуждений (что является серьезной ошибкой).
Итак, точка пересечения прямой y = a с графиком второй функции существует и единственна при любом a, и имеет координаты 
Длина отрезка M1M2
так как при любых значениях a 
Теперь нам надо найти наименьшее значение функции 
на ℝ. Для этого возьмем производную:
Найдем критические точки функции. Производная 
определена при всех a и равна нулю при 
т. е. 
т. е. при a = 1. Определим знаки производной: при 
при 
Таким образом, на (−∞; 1] функция l(a) убывает, а ее наименьшее значение равно l(1); на [1; +∞) функция возрастает, ее наименьшее значение есть l(1).
Мы показали, что наименьшее значение функции l(a) на ℝ равно 
Это и есть длина наименьшего отрезка прямой y = a с концами на графиках данных функций.
Ответ: 
II способ. Пусть прямая y = a пересекает график функции 
в точке 
а график другой заданной функции — в точке 
Так как ординаты этих точек равны, то 
т. е. 
и кроме того, длина отрезка M1M2 равна
(Мы сразу раскрыли модуль, поскольку величина 
положительна при любом 
так как 
)
Рассмотри функцию 
(мы заменили x2 на t из соображений удобства записи). Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема на ℝ. Ее производная 
обращается в нуль в случае
На рисунке изображены знаки производной и характер монотонности рассмотренной функции. Отсюда видно, что наименьшее значение функции равно 
(Обоснования могут быть аналогичными приведенным в I способе решения.)
является искомым наименьшим значением длин указанного отрезка.
III способ. (предложен Ю. П. Дудинцыным). Выпишем уравнение касательной к графику функции 
параллельной прямой 
Найдем абсциссы точек касания, т. е. такие x0, что 
Составим систему, равносильную уравнению (3):
(в неравенстве системы мы написали 
поскольку правая часть в (3) никогда не обращается в нуль; но это несущественно, можем написать и стандартное неравенство 
).
Таким образом, нами установлено, что такая касательная существует и единственна, касание происходит в точке с абсциссой 
и ординатой
Уравнение касательной 
или 
Рассмотрим разность
Покажем, что эта разность неотрицательна для любого 
Введем вспомогательную функцию
Нетрудно видеть, что производная 
обращается в нуль в единственной точке (см. уравнение (3)). Таблица монотонности здесь такая же, как и во втором способе, и 
— наименьшее значение функции 𝜑(x):
(как и должно быть, поскольку 𝜑(x) — разность между значениями функции и ординаты касательной к ее графику в точке с абсциссой ).
Таким образом, 
и график функции 
лежит выше графика функции 
за исключением единственной точки касания 
C другой стороны, график прямой 
лежит ниже графика касательной 
Мы показали, что графики функции и прямой а следовательно, любой отрезок прямой y = a с концами на данных графиках длиннее соответствующего отрезка прямой y = 1, один конец которого лежит в рассматриваемой точке касания, а другой — на прямой 
Длина этого отрезка
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |