PDF-версии: 
Найдите наименьший возможный объём конуса, в который вписан цилиндр объёма V.
Решение. Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен
поэтому 
Обозначим радиус основания конуса за R, а его высоту за p, тогда его объем 
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равносторонний треугольник, в который вписан прямоугольник. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом 
Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому 
Значит, объем конуса равен
Определим наименьшее значение этой функции при R > r. Возьмем производную по R:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Вычислим ее значение:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |