PDF-версии: 
Боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна 4. Под каким углом должна быть наклонена к основанию пирамиды её боковая грань, чтобы расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани было наибольшим?
Решение. Пусть S — вершина пирамиды, O — центр основания ABCD, M — середина AB. Пусть сторона основания пирамиды равна 2x, а апофема SM равна h, тогда по условию
откуда 
Расстояние от O до грани SAB это перпендикуляр, опущенный из O на SM (он также перпендикулярен AB, поскольку его проекция OM перпендикулярна прямой AB, поэтому он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в SAB). Это высота прямоугольного треугольника SOM, поэтому оно равно
Нужно найти наибольшее значение подкоренного выражения. Возьмем производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
поэтому функция 
(а с ней и 
) возрастает при и убывает при принимая наибольшее значение при 
Тогда
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |