Ре­ше­ние. а)  Дей­стви­тель­но, воз­ве­дя в квад­рат обе части каж­до­го из урав­не­ний си­сте­мы и сло­жив по­лу­чен­ные в ре­зуль­та­те урав­не­ния, по­лу­чим, что

б)  Сло­жив урав­не­ния, по­лу­чен­ные в ре­зуль­та­те воз­ве­де­ния в квад­рат обоих урав­не­ния дан­ной си­сте­мы, по­лу­чим, что Если то

то есть Если то

то есть

в)  Пусть α и β  — про­ти­во­по­лож­ные углы че­ты­рех­уголь­ни­ка. Для опре­де­лен­но­сти счи­та­ем, что они яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми двух тре­уголь­ни­ков с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми 1 и 4, 1 и 3 со­от­вет­ствен­но. При­рав­няв най­ден­ные по фор­му­ле ко­си­ну­сов вы­ра­же­ния для квад­ра­та длины об­ще­го ос­но­ва­ния этих тре­уголь­ни­ков, по­лу­чим, что

Пло­щадь s че­ты­рех­уголь­ни­ка вы­ра­зим по фор­му­ле так что После пре­об­ра­зо­ва­ний, ана­ло­гич­ных про­де­лан­ным в преды­ду­щем пунк­те, по­лу­чим, что

Оста­лось за­ме­тить, что   — это ве­ли­чи­на пло­ща­ди рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми 3 и 4 и бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми, рав­ны­ми 1.

г)  Вве­дем ком­плекс­ные числа и Дан­ное урав­не­ние при­об­ре­та­ет вид и по­став­лен­ный во­прос можно пе­ре­фор­му­ли­ро­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «При каком усло­вии на c су­ще­ству­ют такие ком­плекс­ные числа z, и w, что » Ответ сле­ду­ет из гео­мет­ри­че­ско­го пред­став­ле­ния сло­же­ния ком­плекс­ных чисел как сло­же­ния век­то­ров по «пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка» и из усло­вий су­ще­ство­ва­ния тре­уголь­ни­ка: такие числа z и w най­дут­ся тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ:

а)  ре­ше­ний нет;

б) 

в) 

г)  мно­же­ство, за­дан­ное не­ра­вен­ства­ми (коль­цо).