PDF-версии: 
Дана функция 
а) При каком a прямая 
касается графика функции f?
б) Докажите, что 
в) Пусть 
Сколько решений (в зависимости от b) имеет уравнение 
г) Пусть 
и 
Докажите, что 
Решение. а) Если прямая касается графика данной функции в точке с абсциссой t, то 
и 
откуда 
и 
Из первого уравнения следует, что 
значит, 
б) Неравенство 
равносильно известному неравенству 
для доказательства которого введем вспомогательную функцию 
Так как
—
в) Сделав в данном уравнении замену 
и перейдя к соответствующему показательному уравнению, в котором для краткости записи положим 
получим уравнение 
у которого нам надо исследовать число его положительных решений. Дискриминант 
полученного уравнения положителен при 
г) Имеем:
так как 
Ответ: 
два — при 
не имеет решений при 
два — при не имеет решений при два — при не имеет решений при