Ре­ше­ние. а)  Под­ста­вим в урав­не­ние. По­лу­чим то есть или от­сю­да При этом a по­лу­ча­ем от­ку­да Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

У мно­го­чле­на в левой части есть ко­рень по­это­му мно­го­член рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, один из ко­то­рых равен Вы­де­лим его

У вто­ро­го мно­жи­те­ля есть корни но толь­ко лежит в ОДЗ урав­не­ния, по­сколь­ку долж­но быть по­ло­жи­тель­но.

б)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

Не­ра­вен­ство опре­де­ле­но при усло­вии и что воз­мож­но лишь при Ясно, что при усло­вия и до­ста­точ­но, чтобы не­ра­вен­ство было опре­де­ле­но:

Оба зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­ны, по­это­му на них можно до­мно­жить:

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем не­ра­вен­ство:

Учи­ты­вая усло­вие окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде и пре­об­ра­зу­ем его при усло­вии

Ис­сле­ду­ем функ­цию про­из­вод­ная при­мет вид

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при по­это­му воз­рас­та­ет при и при и убы­ва­ет при При этом Зна­чит, на про­ме­жут­ках мо­но­тон­но­сти, ука­зан­ных выше, функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ния из про­ме­жут­ков и По­это­му ровно одно ре­ше­ние будет при   — имен­но такие зна­че­ния при­ни­ма­ют­ся ровно один раз.

г)  За­пи­шем урав­не­ние в виде от­ку­да и До­ка­жем, что при всех Для это оче­вид­но, оста­лось до­ка­зать при Возь­мем про­из­вод­ную от по­лу­чим:

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при Зна­чит,   — точка мак­си­му­ма и оста­ет­ся про­ве­рить не­ра­вен­ство толь­ко в ней. Най­дем:

по­сколь­ку

Ком­мен­та­рий. До­ка­за­тель­ство по­след­не­го не­ра­вен­ства  — часть до­ка­за­тель­ства су­ще­ство­ва­ния числа e, но если этого не пом­нить, то можно до­ка­зать его так или До­ка­жем, что даже для ве­ще­ствен­ных по­ло­жи­тель­ных чисел, а не толь­ко для на­ту­раль­ных, это не­ра­вен­ство верно. Обо­зна­чим Рас­смот­рим про­из­вод­ную функ­ции в левой части

До­ка­жем те­перь, что вто­рой мно­жи­тель не­от­ри­ца­те­лен. При он равен а его про­из­вод­ная, рав­ная

зна­чит, этот мно­жи­тель воз­рас­та­ет и по­это­му он по­ло­жи­те­лен при Зна­чит, и по­это­му и функ­ция воз­рас­та­ет. Оста­лось убе­дить­ся, что ее пре­дел при равен 1, тогда не­ра­вен­ство будет вы­пол­не­но при всех

Но в ре­аль­но­сти это до­ка­за­тель­ство  — ло­ги­че­ский круг, по­сколь­ку и про­из­вод­ная ло­га­риф­ма, и само опре­де­ле­ние числа e тре­бу­ют зна­ния того са­мо­го пре­де­ла.

Ответ: а) и б) в)