PDF-версии: 
Пусть 
а) Найдите все 
для которых 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все a, такие что уравнение 
имеет ровно два решения на отрезке 
г) Существует ли многочлен q, для которого 
при всех 
Решение. а) Запишем неравенство в виде
Заметим, что 
при 
поэтому неравенство сводится к 
Поскольку 
, 
и 
при 
при 
получаем ответ
б) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его. Пусть 
тогда 
и
Получаем:
Значит, либо 
тогда 
т. е. 
при 
Либо 
Обозначая 
получим 
отсюда
Поскольку 
возможен только вариант 
это число меньше 1, как и корень из него, поэтому уравнение 
имеет решения, а именно 
при
в) Заметим, что при 
получим 
При этом на каждом из промежутков 
и 
функция 
принимает все свои значения по одному разу (значение 
она принимает на них в сумме один раз). Поэтому она не должна принимать значение 
на промежутках 
и 
На этих промежутках она принимает все свои неотрицательные значения, кроме значения 1. Поэтому остаются варианты 
где 
Уравнение сводится к 
т. е. 
где 
Окончательно при 
или
г) Допустим, что такой многочлен существует. Возьмем производную от этого равенства:
Подставим в это равенство 
В левой части получим 0, поскольку 
В правой части получим
что является противоречием.
Ответ:
а) 
б) 
в) 
и 
при 
г) нет, не существует.
а)
б)
в) и при
г) нет, не существует.
а)
б)
в) и при
г) нет, не существует.