Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
что При каких a это уравнение имеет решение?
г) Найдите все такие 
при которых для любого натурального числа n уравнение 
имеет решение.
Решение. а) Запишем уравнение в виде 
тогда
Однако 
не подходит, поскольку для него 
Для второго корня все определено.
б) Запишем неравенство в виде 
Сразу отметим, что 
где 
и 
Первое неравенство дает 
тогда последнее дает 
откуда 
и тогда выполнено автоматически. Приведем неравенство к виду, удобному для рационализации и рационализируем его.
У многочлена в числителе есть корень 
поэтому многочлен раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Множители 
и 
положительны при 
поэтому они не оказывают влияния на знак выражения и на них можно сократить 
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множество решений неравенства — отрезок 
Ясно, что 
Следовательно, учитывая неравенство 
в) Уравнение 
сводится к 
при условии 
то есть 
или и условии 
откуда 
то есть 
Другие условия для определенности 
писать не надо, поскольку в силу уравнения 
поэтому обе чаcти одновременно положительны и одновременно не равны 1. Отметим, что если бы это было не так, то условие 
не требовалось бы, зато следовало бы написать 
Значит, 
Это уравнение задает параболу с вершиной при 
и 
с которой надо взять точки, получающиеся при
г) Уравнение 
на ОДЗ сводится к
или (при условии 
) к 
Рассмотрим функцию
Рассмотрим случай 
Тогда 
откуда 
Поскольку также то 
В таком случае
и условие выполнено автоматически. Докажем тогда, что 
при 
— отсюда будет следовать отсутствие решений. Тогда
Рассмотрим случай a > 0. Тогда условие 
дает 
поэтому функция определена на отрезке 
за исключением точки 
(при таком x получим 
что невозможно). При этом
поэтому найдется такое x, при котором 
причем это рассуждение работает при всех натуральных n.
Остался последний вопрос. Не окажется ли это самое x случайно равно 
Подставим такое x. Допустим, 
тогда 
и 
итого 
т. е. 
Поскольку нас интересует лишь положительное a, остался случай 
Попробуем при таком a решить изначальное уравнение при 
Заметим, что 
тогда
тогда
Отсюда
или
Однако для первого корня получим
поэтому логарифм не определен, а для второго корня получим
и логарифм снова не определен. Поэтому у уравнения нет корней при
Ответ: 
